62. Формирование случайных чисел с различными законами распределения

Формирование случайных чисел с равномерным  законом распределения

Метод статистических испытаний базируется на использовании случайных чисел – возможных значений некоторой случайной величины с заданным распределением вероятностей.

В подавляющем большинстве применений генерация  любых случайностей  начинается  с генерации случайных чисел с равномерным распределением в диапазоне (0, 1) с помощью программы - датчика случайных чисел. Наиболее  просто случайные числа  в диапазоне (0, 1) получаются из рекуррентного соотношения ,где  A и B – константы;

M   –  достаточно большое целое положительное число.При соответствующем выборе констант и задания некоторого исходного значения  эта формула позволяет получить последовательность целых чисел,  равномерно распределенных в интервале (0, -1). Последовательность имеет период повторения, равный , поэтому точнее называть эти числа псевдослучайными. Наличие периода повторений может отрицательно сказываться при моделировании с числом реализаций, превышающим значение периода повторений. Для увеличения периода повторения без изменения  часто применяют специальные приемы «взбадривания» датчика, обычно это заключается в пересмотре .Случайные числа , равномерно распределенные в диапазоне (0, 1) получают из чисел диапазона (0, -1) с помощью масштабного преобразования.

Все доступные системы программирования имеют встроенные подпрограммы - датчики случайных чисел диапазона (0, 1), поэтому при статистическом моделировании получение равномерно распределенных в диапазоне (a, b) случайных величин сводится к пересчету  ,

здесь   - обращение к машинному датчику случайных чисел.

Формирование случайных чисел с экспоненциальным  законом распределения

Все доступные системы программирования имеют встроенные подпрограммы - датчики случайных чисел диапазона (0, 1), поэтому при статистическом моделировании получение экспоненциально  распределенных в диапазоне (a, b) случайных величин сводится к пересчету:

Эксп. Закон имеет параметр λ – связанный с понятием интенсивность.

Формирование случайных чисел с нормальным законом распределения

Для нормального закона распределения можно воспользоваться положением центральной предельной теоремы. Если набрать сумму из  значений b, то эта сумма будет случайной величиной со средним  и дисперсией . Вычитание из суммы значения  и деление полученной разности на  дают случайную величину , распределенную ( при достаточно больших ) по нормальному закону с нулевым математическим ожиданием и единичной дисперсией. Для ускорения вычислений рекомендуется выбирать  = 12,  48,  108.

Тогда ,  для  = 12;

,  для  = 48;

,  для =108.

Увеличение  ведет к возрастанию точности, но замедляет процесс моделирования. Для простых задач достаточно N = 12. Переход к нормальным распределениям с ненулевым  ожиданием и дисперсией, отличной от 1, осуществляется по следующей формуле:

 ,где   – среднеквадратическое отклонение требуемого нормального распределения;

 – его математическое ожидание. Для получения дискретных случайных величин в ряде редких случаев применяют известные соотношения, как например для биномиального распределения

, случайные величины, которые определяются по правилу

, где , если ; , если .Когда расчетные соотношения неизвестны и нет возможности их вывести, можно прибегнуть к табличному заданию случайной величины, используя  для определения индекса – указателя элемента таблицы (это годится как для непрерывных, так и для дискретных величин).